第三章：二维随机变量

3.1 二维随机变量

二维随机变量的定义

设试验 \(E\) 的样本空间为 \(S=\{e\}\)，而 \(X=X(e),Y=Y(e)\) 是定义在 \(S\) 上的两个随机变量。称由这两个随机变量组成的向量 \((X,Y)\) 为二维随机变量或二维随机向量。

二维随机变量的分布函数定义

设 \((X,Y)\) 为二维随机变量，对任意实数 \(x,y\)，二元函数 \(F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}\) 称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 的联合分布函数。

分布函数的性质

1. 定义域：\(-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty\)

• 取值范围：\(0\leq F(x,y)\leq 1\)

• 特殊值： \[ \begin{aligned} &F(-\infty,-\infty)={\lim\limits_{x, y\to -\infty}}F(x,y)={\lim\limits_{x, y\to -\infty}}P\{X\leq x,Y\leq y\}=0\\ &F(+\infty,+\infty)={\lim\limits_{x, y\to +\infty}}F(x,y)={\lim\limits_{x, y\to +\infty}}P\{X\leq x,Y\leq y\}=1\\ &F(x,-\infty)=\lim\limits_{y\to-\infty}F(x,y)=\lim\limits_{y\to-\infty}P\{X\leq x,Y\leq y\}=0\\ &F(-\infty,y)=\lim\limits_{x\to -\infty}F(x,y)=\lim\limits_{x\to -\infty}P\{X\leq x,Y\leq y\}=0 \end{aligned} \]

2. \(F(x,y)\) 对 \(x\) 或 \(y\) 单调不减

3. \(F(x,y)\) 对 \(x\) 或 \(y\) 右连续

4. 对任意实数 \(x_1<x_2,y_1<y_2\) 有

\[ P\{x_1<X\leq x_2,y_1< Y \leq y_2\} =F(x_2,y_2)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1) \geq 0 \]

反之：凡是满足性质 (1)~(4) 的二元函数 \(F(x,y)\) 必定是某个二维随机变量的分布函数。

n 维随机变量的定义

设试验 \(E\) 的样本空间为 \(S=\{e\}\)，而 \(X_i=X_i(e)\) 是定义在 \(S\) 上的随机变量，\(i=1,2,\dots ,n\) 由这 \(n\) 个随机变量构成的有序随机变量组 \((X_1,X_2,\dots ,X_n)\) 称为 \(n\) 维随机变量或随机向量。

设 \((X_1,X_2,\dots ,X_n)\) 为 \(n\) 维随机变量，对任意实数 \(x_1,x_2,\dots ,x_n\)，\(n\) 元函数 \(F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=P\{X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,\dots ,X_n\leq x_n\}\) 称为 \(n\) 维随机变量 \((X_1,X_2,\dots ,X_n)\) 的分布函数或 \(n\) 个随机变量 \(X_1,X_2,\dots ,X_n\) 的联合分布函数。

3.2 二维离散型随机变量

二维离散型随机变量的定义

若二维随机变量 \((X,Y)\) 的取值为有限对或可列对 $(x_i,y_j),i,j=1,2,$，则称 \((X,Y)\) 是离散型随机变量。

二维离散型随机变量的分布律

记：

\[ P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,\dots \]

称为二维离散型随机变量 \((X,Y)\) 的（概率）分布律，或称为 \(X\) 和 \(Y\) 的联合（概率）分布律。

分布律的表示法：（1）公式法；（2）列表法

二维离散型随机变量的性质

1. \[ p_{ij} = P \{ X = x_i,Y = y_j \} \geq 0,i,j=1,2,\dots \]
2. \[ \sum\limits_{i,j}p_{ij}=1 \]

相关定理

设 \((X,Y)\) 的分布律为

\[ P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,\dots \]

则随机点 \((X,Y)\) 落在平面上任一区域 \(D\) 的概率

\[ P\{(X,Y)\in D\}=\sum\limits_{(x_i,y_i)\in D}p_{ij} \]

其中和式是对所有使 \((x_i,y_i)\in D\) 的 \(i,j\) 求和。

3.3 二维连续型随机变量

3.2.1 基础部分

二维连续型随机变量的定义

设二维随机变量 \((X,Y)\) 的分布函数为 \(F(x,y)\),若有非负可积函数 \(f(x,y)\),使得对任意实数 \(x,y\), 恒有：

\[ F(x,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^xf(u,v)\ \mathrm{d}u\mathrm{d}v \]

则称 \((X,Y)\) 是二维连续型随机变量，函数 \(f(x,y)\) 称为二维连续型随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度，或称为随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的联合概率密度。

二维连续型随机变量的性质

\(X,Y\) 的概率密度 \(f(x,y)\) 具有下列基本性质：

1. \[ f(x,y)\geq 0, \quad -\infty<x,y<+\infty \]

2. \[\int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y=F(+\infty,+\infty)=1 \]

反之, 若二元函数\(f(x,y)\)满足上面两条基本性质，则它一定是某个二维随机变量\((X,Y)\)的概率密度

3. 如果概率密度\(f(x,y)\)在点\((x,y)\)处连续, 则有： \[ \dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y}(x,y)=f(x,y) \]

3.2.2 用概率密度计算概率

定理

设 \((X,Y)\) 的概率密度为 \(f(x,y)\) 则有：

1. 设 \(D\) 为平面上的任一区域，则：

\[ P\{(X,Y)\in D\}=\iint\limits_{D}f(x,y)\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y \]

\[ F(x,y)={\iint\limits_{u\leq x}}\limits_{v\leq y}f(u,v)\ \mathrm{d}u\mathrm{d}v \]

2. 有：

\[ P\{a<X\leq b,c<Y\leq d\}=\int^b_a\int^d_cf(x,y)\ \mathrm{d}y\mathrm{d}x \]

3.2.3 常用的二维连续型随机变量

均匀分布

若二维连续型随机变量 \((X,Y)\) 概率密度为：

\[ f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{A},&(x,y)\in D\\ 0,&其它 \end{cases} \]

其中 \(A\) 为有界区域 \(D\) 的面积。则称 \((X,Y)\) 在区域 \(D\) 上服从均匀分布，记为 \((X,Y)\sim U(D)\)

二维正态分布

若随机变量 \((X,Y)\) 概率密度为：

\[ f(x,y)=\dfrac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\cdot\exp\left\{-\dfrac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\left(\dfrac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2-2\rho\dfrac{x-\mu_1}{\sigma_1}\dfrac{y-\mu_2}{\sigma_2}+\left(\dfrac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2\right]\right\} \]

其中 \(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho\) 的二维正态分布，记作 \((X,Y)\sim N(\mu_1,\sigma_1^2;\mu_2,\sigma^2_2;\rho)\)

3.3 边沿分布函数（或边缘分布函数）

边沿分布函数的定义

设二维随机变量 \((X,Y)\) 的分布函数 \(F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}\)（分量 \(X\) 与 \(Y\) 的联合分布函数）

分量 \(X\) 的分布函数： \[ \begin{aligned} p\{X\leq x\}&=P\{X\leq x,Y<+\infty\}\\ &=\lim\limits_{y\rightarrow+\infty}P\{X\leq x,Y\leq y\}\\ &=\lim\limits_{y\rightarrow+\infty}F(x,y)\\ &=F(x,+\infty)\\ &\triangleq F_X(x) \end{aligned} \] 称 \(F_X(x)\) 为 \((X,Y)\) 关于 \(X\) 的边沿分布函数。

分量 \(Y\) 的分布函数： \[ P\{Y\leq y\}=F(+\infty,y)=F_Y(y) \] 称 \(F_Y(y)\) 为 \((X,Y)\) 的边沿分布函数。

注意：

已知联合分布函数 \(F(x,y)\)，可以计算出边沿分布函数 \(F_X(x),F_Y(y)\)

但由 \(X,Y\) 各自的分布函数 \(F_X(x),F_Y(y)\)，一般无法确定联合分布函数 \(F(x,y)\)

3.3.1 边沿分布律

边沿分布律的定义

二维离散型随机变量 \((X,Y)\)，分量 \(X\) 和分量 \(Y\) 都是离散型随机变量， \(X\) 的分布律称为 \((X,Y)\) 关于 \(X\) 的边沿分布律；\(Y\) 的分布律称为 \((X,Y)\) 关于 \(Y\) 的边沿分布律

边沿分布律的计算

\[ P\{X=x_i\}=\sum\limits_j p_{ij}=p_i \]

\((X,Y)\) 关于 \(X\) 的边沿分布律：联合分布律表中各行概率相加。

\[ P\{Y=y_j\}=\sum\limits_ip_{ij}=p_j \]

\((X,Y)\) 关于 \(Y\) 的边沿分布律：联合分布律表中各列概率相加.

3.3.2 条件分布律

在已知一个分量取某一定值的条件下，另一个分量的分布律称为条件分布律。

条件分布律的定义

设二维离散型随机变量 \((X,Y)\) 的分布律为：

\[ P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}\quad i,j=1,2,\dots \]

1. 若 \(P\{X=x\}>0\)

\[ P\{Y=y_j|X=x\}=\dfrac{P\{X=x,Y=y_j\}}{P\{X=x\}}\quad j=1,2,\dots \]

称为在 \(X=x\) 的条件下，\(Y\) 的条件分布律。

2. 若 \(P\{Y=y\} > 0\)

\[ P\{X=x_i|Y=y\}=\dfrac{P\{X=x_i,Y=y\}}{P\{Y=y\}}\quad i=1,2,\dots \]

称为在 \(Y=y\) 的条件下，\(X\) 的条件分布律。

3.4 边沿概率密度和条件概率密度

3.4.1 边沿概率密度

二维连续型随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为 \(f(x,y)\) 则

• \((X,Y)\) 关于 \(X\) 的边沿概率密度为： \[ f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)\ \mathrm{d}y \]

• \((X,Y)\) 关于 \(Y\) 的边沿概率密度为： \[ f_Y(y)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)\ \mathrm{d}x \]

3.4.2 条件概率密度

\[ f_{X|Y}(x|y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}\quad ,f_Y(y)\ne 0,x\in (-\infty,+\infty) \] \[ f_{Y|X}(y|x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}\quad ,f_X(x)\ne 0,y\in (-\infty,+\infty) \]

3.5 相互独立的随机变量

设 \(X,Y\) 为两个随机变量，若对任意实数 \(x,y\)，有：

\[ P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}\cdot P\{Y\leq y\} \]

则称 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，简称独立。

3.5.1 离散型随机变量相互独立的判别定理

设二维离散型随机变量 \((X,Y)\) 的分布律为：

\[ P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{i,j} \]

则 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立的充要条件：

\[ p_{ij}=p_i\cdot p_j \]

3.5.2 连续型随机变量相互独立的判别定理

设二维连续型随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度为 \(f(x,y)\)，\(f_X(x),f_Y(y)\)分别是 \((X,Y)\) 关于 \(X\) 和 \(Y\) 的边沿概率密度。

则 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立的充要条件为：

\[ f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y) \]